Comment les anciens géomètres babyloniens ont développé une forme unique de trigonométrie - 1 000 ans avant les Grecs

Maître de conférences, UNSW Sydney

Daniel Mansfield ne travaille pas pour, ne consulte pas, ne détient pas d'actions ou ne reçoit de financement d'aucune entreprise ou organisation qui bénéficierait de cet article, et n'a divulgué aucune affiliation pertinente au-delà de sa nomination académique.

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Notre compréhension moderne de la trigonométrie remonte aux anciens astronomes grecs qui étudiaient le mouvement des corps célestes dans le ciel nocturne.

Mais en 2017, j'ai montré que les anciens Babyloniens avaient probablement développé leur propre type de "proto-trigonométrie" plus de 1 000 ans avant les Grecs. Alors pourquoi les Babyloniens s'intéressaient-ils aux triangles rectangles ? A quoi les utilisaient-ils ?

J'ai passé ces dernières années à essayer de le savoir. Ma recherche, publiée aujourd'hui dans Foundations of Science, montre que la réponse se cachait à la vue de tous.

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Plusieurs milliers de tablettes d'argile ont été récupérées dans les cités perdues de l'ancienne Babylone, dans l'actuel Irak. Ces documents ont été conservés sous le désert pendant des millénaires. Une fois découverts, ils se sont retrouvés dans les musées, les bibliothèques et les collections privées.

Un exemple est le relevé cadastral Si.427, vieux d'environ 3 700 ans, qui représente le plan d'un arpenteur d'un champ. Il a été fouillé par le père Jean-Vincent Scheil lors d'une expédition archéologique française de 1894 à Sippar, au sud-ouest de Bagdad. Mais sa signification n'a pas été comprise à l'époque.

Il s'avère que Si.427 - qui se trouve à Istanbul Arkeoloji Müzeleri (musées archéologiques d'Istanbul) depuis plusieurs décennies et qui est actuellement exposé - est en fait l'un des plus anciens exemples de géométrie appliquée du monde antique. Regardons ce qui le rend si spécial.

Les anciens Babyloniens appréciaient la terre, tout comme nous le faisons aujourd'hui. Au début, de vastes étendues de terres agricoles appartenaient à des institutions telles que des temples ou des palais.

Des géomètres professionnels mesureraient ces champs pour estimer la taille de la récolte. Mais ils n'ont pas établi de limites de terrain. Il semble que ces puissantes institutions n'aient pas eu besoin d'un arpenteur, ou de qui que ce soit d'autre, pour leur dire ce qu'elles possédaient.

La nature de la propriété foncière a changé au cours de la période paléo-babylonienne, entre 1900 et 1600 avant notre ère. Plutôt que de grands champs institutionnels, des champs plus petits pourraient désormais appartenir à des gens ordinaires.

Ce changement a eu un impact sur la façon dont les terres ont été mesurées. Contrairement aux institutions, les propriétaires fonciers privés avaient besoin d'arpenteurs pour établir les limites et régler les différends.

La nécessité d'un arpentage précis ressort d'un poème ancien babylonien sur des étudiants querelleurs apprenant à devenir arpenteurs. L'élève le plus âgé avertit le plus jeune en lui disant :

Allez diviser une parcelle, et vous n'êtes pas en mesure de diviser la parcelle ; aller répartir un champ, et vous ne pouvez même pas tenir correctement le ruban et la tige. Les piquets de terrain que vous ne parvenez pas à placer ; vous ne pouvez pas comprendre sa forme, de sorte que lorsque des hommes lésés ont une querelle, vous ne pouvez pas apporter la paix, mais vous permettez à un frère d'attaquer son frère. Parmi les scribes, vous (seul) êtes inapte à l'argile.

Ce poème mentionne le ruban et la tige, qui sont des références aux outils d'arpentage babyloniens standard : la corde à mesurer et la tige unitaire. Ceux-ci étaient des symboles vénérés d'équité et de justice dans l'ancienne Babylone et étaient souvent vus entre les mains des déesses et des rois.

Les géomètres babyloniens utilisaient ces outils pour diviser les terres en formes gérables : rectangles, triangles rectangles et trapèzes rectangles.

Auparavant, avant que les arpenteurs n'aient besoin d'établir des limites, ils faisaient simplement des estimations agricoles. Donc, les angles de 90° à l'époque étaient de bonnes approximations, mais ils n'étaient jamais tout à fait corrects.

Le cadastre ancien babylonien Si.427 montre les limites d'une petite parcelle de terrain achetée à un particulier connu sous le nom de Sîn-bêl-apli.

Il y a des régions marécageuses qui ont dû être importantes car elles sont mesurées très soigneusement. Cela ressemble à une journée de travail normale pour un géomètre babylonien, n'est-ce pas ? Mais il y a quelque chose de très distinct à propos de Si.427.

Dans les sondages antérieurs, les angles de 90° ne sont que des approximations, mais dans Si.427, les coins sont exactement à 90°. Comment quelqu'un avec juste une corde de mesure et une tige d'unité pourrait-il faire des angles droits aussi précis ? Eh bien, en faisant un triplet de Pythagore.

Un triplet de Pythagore est un type particulier de triangle rectangle (ou rectangle) avec des mesures simples qui satisfont au théorème de Pythagore. Ils sont faciles à construire et ont des angles droits théoriquement parfaits.

Les triples pythagoriciens étaient utilisés dans l'Inde ancienne pour fabriquer des autels de feu rectangulaires, potentiellement aussi loin que 800 avant notre ère. Grâce à Si.427, nous savons maintenant que les anciens Babyloniens les utilisaient pour effectuer des mesures précises des terres dès 1900 avant notre ère.

Si.427 contient non pas un, mais trois triplets de Pythagore.

Si.427 nous a également aidés à comprendre d'autres tablettes de l'ère babylonienne.

Tous les triplets de Pythagore n'étaient pas utiles aux géomètres babyloniens. Ce qui rend un triplet pythagoricien utile, ce sont ses côtés. Plus précisément, les côtés doivent être "réguliers", ce qui signifie qu'ils peuvent être agrandis ou réduits à n'importe quelle longueur. Les nombres réguliers n'ont pas de facteurs premiers à part 2, 3 et 5.

Plimpton 322 est une autre ancienne tablette babylonienne, avec une liste de triplets de Pythagore qui ressemblent à une table trigonométrique moderne. Les tables trigonométriques modernes répertorient les rapports des côtés (sin, cos et tan quelqu'un?).

Mais au lieu de ces rapports, Plimpton 322 nous indique quels côtés d'un triplet de Pythagore sont réguliers et donc utiles pour l'arpentage. Il est facile d'imaginer qu'il a été fait par un mathématicien pur qui voulait savoir pourquoi certains triplets de Pythagore étaient utilisables alors que d'autres ne l'étaient pas.

Alternativement, Plimpton 322 aurait pu être conçu pour résoudre un problème pratique spécifique. Bien que nous ne saurons jamais les véritables intentions de l'auteur, il se situe probablement quelque part entre ces deux possibilités. Ce que nous savons, c'est que les Babyloniens ont développé leur propre compréhension unique des triplets de Pythagore.

Cette "proto-trigonométrie" est équivalente à la trigonométrie développée par les anciens astronomes grecs. Pourtant, il est différent parce qu'il a été développé en réponse aux problèmes rencontrés par les géomètres babyloniens qui ne regardaient pas le ciel nocturne, mais la terre.

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